Giáo án bồi dường học sinh giỏi toán lớp 6
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (891.44 KB, 124 trang )
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Ngày soạn : 04/9/2013 Ngày dạy : 11/9/2013(Buổi 1)
THỨ TỰ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH. TÍNH NHANH VÀ TÍNH HỢP LÍ
I. MỤC TIÊU
- Ôn tập lại các tính chất của phép cộng và phép nhân, phép trừ và phép chia.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng các tính chất trên vào các bài tập tính nhẩm, tính nhanh và
giải toán một cách hợp lý.
- Vận dụng việc tìm số phần tử của một tập hợp đã được học trước vào một số bài toán.
- Hướng dẫn HS cách sử dụng máy tính bỏ túi.
II. CHUẨN BỊ GV: Nội dung bài học
HS: Ôn lại các kiến thức đã học
III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ : Kết hợp khi học bài
3 Bài học
HOẠT ĐỘNG 1: ÔN TẬP LÝ THUYẾT.
chúng ta dùng dấu + để chỉ phép cộng: Viết: a + b = c
+)Phép nhân hai sốtự nhiên bất kìluôn cho ta một sốtự nhiên duy nhấtgọi là tích của chúng.
Ta dùng dấu . Thay cho dấu x ở tiểuhọc để chỉ phép nhân. Viết: a . b = c
* Chú ý: Trong một tích nếu hai thừa số đều bằng số thì bắt buộc phải viết dấu nhân . Còn
có một thừa số bằng số và một thừa số bằng chữ hoặc hai thừa số bằng chữ thì không cần
viết dấu nhân . Cũng được .Ví dụ: 12.3 còn 4.x = 4x; a . b = ab.
+) Tích của một số với 0 thì bằng 0, ngược lại nếu một tích bằng 0 thì một trong các thừa số
của tích phải bằng 0.
* TQ: Nếu a .b= 0thì a = 0 hoặc b = 0.
+) Tính chất của phép cộng và phép nhân:
a)Tính chất giao hoán: a + b= b+ a a . b= b. a
b)Tính chất kết hợp: ( a + b) +c = a+ (b+ c) (a .b). c =a .( b.c )
c)Tính chất cộng với 0 và tính chất nhân với 1: a + 0 = 0+ a= a a . 1= 1.a = a
d)Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: a.(b+ c )= a.b+ a.c
Câu 1: Phép cộng và phép nhân có những tính chất cơ bản nào?
Câu 2: Phép trừ và phép chia có những tính chất cơ bản nào?
Hoạt động 2: Bài tập
*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách
hợp lý nhất.
a/ 67 + 135 + 33
b/ 277 + 113 + 323 + 87 =
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 x 17 x 125
b/ 4 x 37 x 25
a) =(67+33) + 135 = 100 + 135 = 235
b) =(277+ 323) + (113+ 87)
= 600 + 200= 800
a) = (8 .25).17 =100.17=1700
b) = ( 25.4).37 = 100.7=700
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86 b/ 37. 38 + 62. 37
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001
d/ 67. 99; 998. 34
a/ 997 + (3 + 83) = (997 + 3) + 83 = 1000 + 80 =
1083
Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng.
Nhận xét: 997 + 86 = (997 + 3) + (86 -3) = 1000 +
83 = 1083. Ta có thể thêm vào số hạng này đồng
thời bớt đi số hạng kia với cùng một số.
b/ 37. 38 + 62. 37 = 37.(38 + 62) = 37.100 =
GV: Hoàng Văn Thám 1 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
3700.
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối
với phép cộng.
Bài 4: Tính nhanh các phép tính:
a/ 37581 9999
c/ 485321 99999
b/ 7345 1998
d/ 7593 1997
Bài 5: Tính nhanh:
a) 15. 18 b) 25. 24
c) 125. 72 d) 55. 14
+)Tính nhanh tích hai số bằng cách tách
một thừa số thành tổng hai số rồi áp
dụng tính chất phân phối:
c/ 43. 11 = 43.(10 + 1) = 43.10 + 43. 1 = 430 +
43 = 4373.
67. 101= 6767
423. 1001 = 423 423
d/ 67. 99 = 67.(100 1) = 67.100 67 = 6700
67 = 6633
998. 34 = 34. (100 2) = 34.100 34.2 =
3400 68 = 33 32
a/ 37581 9999 = (37581 + 1 ) (9999 + 1) =
37582 10000 = 27582
b/ 7345 1998 = (7345 + 2) (1998 + 2) =
7347 2000 = 5347
c/ ĐS: 385322
d/ ĐS: 5596
Bài 6 :Tính nhanh:
a) 25. 12 b) 34. 11
c) 47. 101 d) 15.302
e) 125.18 g) 123. 1001
Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách
hợp lí nhất:
a) 463 + 318 + 137 + 22
b) 189 + 424 +511 + 276 + 55
c) (321 +27) + 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155
e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
f) 347 + 418 + 123 + 12
Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7. 10. 4
c) 8. 12. 125. 2 d) 4. 36. 25. 50
Chú ý:
Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c =
a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b +
c + d)
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 38. 63 + 37. 38
b) 12.53 + 53. 172 53. 84
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45
d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41
VD: Tính nhanh: 45.6 = ( 40 + 5). 6 = 40. 6 + 5. 6
= 240 + 30 = 270.
+) Sử dụngtính chất giao hoán kết hợp của phép
cộng để tính bằng cách hợp lí:
VD:Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất:
135 + 360 + 65 + 40 = (135 + 65) + ( 360 + 40) =
200 + 400 = 600
+. Sử dụng tính chất giao hoán kết hợp của phép
nhânđể tính bằngcách hợp lí nhất:
VD: Tính bằng cách hợp lín hất:
5. 25. 2. 37. 4 = (5. 2). (25. 4). 37 = 10.
100. 37 = 37 000.
*. Sử dụng tính chất phân phối để tính nhanh:
VD: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 28. 64 + 28. 36 = 28.(64 + 36 ) = 28. 100 =
2800
b) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12 = 24. 25 + 24. 37
+ 24. 38 = 24.(25 + 37 + 38 )
= 24. 100 = 2400
*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa
2 chữ số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng
chục.
GV: Hoàng Văn Thám 2 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
vd : 34 .11 =374 ; 69.11 =759
d ) 79.101 =79(100 +1) =7900 +79 =7979
*Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số với 101 thì kết quả chính là 1 số có được bằng
cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau
vd: 84 .101 =8484 ; 63 .101 =6363 ; 90.101 =9090
*Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số với 1001 thì kết quả chính là 1 số có được bằng
cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau
Ví dụ:123.1001 = 123123
Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số, tập hợp
Bài 1:Tính tổng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 100
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + . + 100
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + . + 301
d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .+ 201.
Bài 2: (VN)Tính các tổng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + . + 302
b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .+ 203.
c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + . + 301
d) D =8 + 15 + 22 + 29 + . + 351
Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
Bài 4: (VN )
Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .
a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x,
biết x là số có hai chữ số và
12 < x < 91
Bài 6: (VN) Tính tổng của các số tự nhiên a ,
biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
d)Tính tổng các chữ số của A.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số.
b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
a)Số số hạng củ dãy là: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b)số số hạng là: (100-2):2+1 = 49
B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499
c,d)(HS tự giải lên bảng trình bày)
lưu ý: số cuối = (số số hạng-1) . khoảng
cách- số đầu
a. vậy số thứ 100 = (100-1) .3 5 = 292
b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000
c.
A= {13;14;15;16; ;90}
Số số hạng là: 90 -13 +1 =78
A = (90+ 13)78 : 2 =4017
- áp dụng theo cách tích tổng của Gauss
- Nhận xét: Tổng trên có 1999 số hạng
Do đó
S = 1 + 2 + 3 + . + 1998 + 1999 = (1 +
1999). 1999: 2 = 2000.1999: 2 = 1999000
a/ S
1
= 100 + 101 + . + 998 + 999
Tổng trên có (999 100) + 1 = 900 số
hạng. Do đó
S
1
= (100+999).900: 2 = 494550
Bài 9: (VN)Tính tổng
a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, ., 296
b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, ., 283
Bài 10: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19.
b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.
c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên
b/ S
2
= 101+ 103+ . + 997+ 999
Tổng trên có (999 101): 2 + 1 = 450 số
hạng. Do đó
S
2
= (101 + 999). 450 : 2 = 247500
( ĐS: a/ 14751 b/ 10150 )
a/ a
k
= 3k + 1 với k = 0, 1, 2, ., 6
b/ b
k
= 3k + 2 với k = 0, 1, 2, ., 9
c/ c
k
= 4k + 1 với k = 0, 1, 2, . hoặc c
k
=
4k + 1 với k
N
GV: Hoàng Văn Thám 3 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không
chia hết cho 2, công thức biểu diễn là
2 1k
+
, k
N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết
cho 2, công thức biểu diễn là
2k
, k
N)
*Dạng 3: Tìm x
Bài 1:Tìm x
N biết
a)(x 15) .15 = 0
b) 32 (x 10 ) = 32
Bài 2:Tìm x
N biết :
a ) (x 15 ) 75 = 0
b)575- (6x +70) =445 c) 315+(125-x)= 435
Bài 3:Tìm x
N biết :
a) x 105 :21 =15 b) (x- 105) :21 =15
Bài 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x 5)(x 7) = 0 b/ 541 + (218 x) = 73
c/ 96 3(x + 1) = 42 d/ ( x 47) 115 = 0
e/ (x 36):18 = 12
a)
x 15 = 0
x =15
b)
x 10 = 1
x = 11
*.Dạng 4: Ma phương
Cho bảng số sau:
Các số đặt trong hình vuông có tính chất rất
đặc biệt. đó là tổng các số theo hàng, cột
hay đường chéo đều bằng nhau. Một bảng
ba dòng ba cột có tính chất như vậy gọi là
ma phương cấp 3 (hình vuông kỳ diệu)
Bài 1: Điền vào các ô còn lại để được một
ma phương cấp 3 có tổng các số theo hàng,
theo cột bằng 42
HS theo dõi
4. Củng cố: GV hệ thống lại nội dung bài dạy
5. Hướng dẫn về nhà: Hoàn thành các bài tập còn lại
- Chuẩn bị chủ đề Luỹ thừa với số mũ tự nhiên
RÚT KINH NGHIỆM :
Ngày soạn : 15/9/2013 Ngày dạy : 21/9/2013(Buổi 2) Ngày dạy : 10/10/2013(Buổi 3)
DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức cần đạt
- Học sinh nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính về số tự nhiên, về luỹ thừa
2. Kĩ năng cần đạt
GV: Hoàng Văn Thám 4 Trường THCS Bình An Thịnh
9 19 5
7 11 15
17 3 10
1
5
1
0
12
1
5
1
0
17
16 14 12
11 1
8
13
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
- Thực hiện các phép tính thành thạo
- Tính tổng dãy số có quy luật
-Các bài toán về luỹ thừa: So sánh hai luỹ thừa, tìm số mũ, tìm cơ số
3. Các dạng bài
- Thực hiện các phép tính, tính nhanh và hợp lí
- Các bài toán về dãy số có quy luật
- Các bài toán liên quan đến luỹ thừa: So sánh hai luỹ thừa, tìm chữ số tận cùng, số chính
phương.
II. CHUẨN BI
- GV phân lọai các dạng bài toán về dáy số tự nhiên viết theo quy luật.
- HS ôn tập về dãy số dã học ở tiểu học.
III. NỘI DUNG DẠY HỌC:
Bài toán 1 : Tính các tổng sau
1. A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
+ 2
8
+ 2
9
+ 2
10
2. B = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3
100
Giải :
1. 2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
10
+ 2
11
. Khi đó : 2A A = 2
11
1
2. 3B = 3 + 3
2
+ 3
3
+ + 3
100
+ 3
101
. Khi đó : 3B B = 2B = 3
101
1 .
Vậy B =
Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là :
Tính tổng S = 1 + a + a
2
+ a
3
+ + a
n
, a
Z
+
, a > 1 và n
Z
+
Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ + a
n
+ a
n+1
. Rồi trừ cho S ta được :
aS S = ( a 1)S = a
n+1
1 . Vậy : 1 + a + a
2
+ a
3
+ + a
n
= .
Từ đó ta có công thức : a
n+1
1 = ( a 1)( 1 + a + a
2
+ a
3
+ + a
n
) .
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau:
2 3 2007
2 3 100
) 1 7 7 7 7
) 1 4 4 4 4
a A
b B
= + + + + +
= + + + + +
c) Chứng minh rằng : 14
14
1 chia hết cho 3
d) Chứng minh rằng : 2009
2009
1 chia hết cho 2008
Bài toán 2 : Tính các tổng sau
1) A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ + 3
100
2) B = 7 + 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ + 7
99
Giải :
1) A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ + 3
100
. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để
khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách
nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3
2
, rồi trừ cho A ta được :
3
2
A = 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ + 3
100
+ 3
102
A = 1 + 3
2
+ 3
4
+ 3
6
+ 3
8
+ + 3
100
3
2
A A = 3
102
1 . Hay A( 3
2
1) = 3
102
1 . Vậy A = ( 3
102
1): 8
Từ kết quả này suy ra 3
102
chia hết cho 8
GV: Hoàng Văn Thám 5 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
2 ) Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 7
2
rồi trừ cho B , ta được :
7
2
B = 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ + 7
99
+ 7
101
B = 7 + 7
3
+ 7
5
+ 7
7
+ 7
9
+ + 7
99
7
2
B B = 7
101
7 , hay B( 7
2
1) = 7
101
7 . Vậy B = ( 7
101
7) : 48
Tương tự như trên ta cũng suy ra 7
101
7 chia hết cho 48 ; 7
100
- 1 chia hết cho 48
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :
A = 2 + 2
3
+ 2
5
+ 2
7
+ 2
9
+ + 2
2009
B = 1 + 2
2
+ 2
4
+ 2
6
+ 2
8
+ 2
10
+ + 2
200
C = 5 + 5
3
+ 5
5
+ 5
7
+ 5
9
+ + 5
101
D = 13 + 13
3
+ 13
5
+ 13
7
+ 13
9
+ + 13
99
Tổng quát : Tính *
b)
2 4 6 2
1
1
n
S a a a a
= + + + + +
, với (
2, a n N
)
c)
3 5 2 1
2
n
S a a a a
+
= + + + +
, với (
*
2, a n N
)
Bài tập khác : Chứng minh rằng :
a. A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
60
chia hết cho 21 và 15
b. B = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3
11
chia hết cho 52
c. C = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ + 5
12
chia hết cho 30 và 31
Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
Lời giải 1 :
Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần
khoảng cách này ta được :
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) +
8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8)
= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
= 9.10.11 = 990.
A = 990/3 = 330
Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự
nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát sau :
A = 1.2 + 2.3 + + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3
Lời giải khác :
Lời giải 2 :
3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3
= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ 9
2
).2.3
= (1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ 9
2
).6 = 990 = 9.10.11
Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với lời
giải 1, ta có :
(1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ 9
2
).6 = 9.10.11, hay
(1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ 9
2
) = 9.10.11/6
Ta có kết quả tổng quát :
P = 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ + (2n + 1)
2
= (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6
GV: Hoàng Văn Thám 6 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Bài tập vận dụng : Tính các tổng sau :
1. P = 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ 7
2
+ + 99
2
2. Q = 11
2
+ 13
2
+ 15
2
+ + 2009
2
.
3. M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100
Từ bài toán 3 ==> Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
C = A + 10.11. Tính giá trị của C.
Giải :
Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3
Theo cách giải 2 của bài toán 2, ta lại có :
C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11
= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11)
= 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11)
= 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10
= 2.2
2
+ 2.4
2
+ 2.6
2
+ 2.8
2
+ 2.10
2
= 2.( 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ 8
2
+ 10
2
)
Vậy C = 2.(2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ 8
2
+ 10
2
) = 10.11.12/3 .Từ đó ta có :
2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ 8
2
+ 10
2
= 10.11.12/6
Ta lại có kết quả tổng quát là :
2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + (2n)
2
= 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6
Bài tập áp dụng :
1. Tính tổng : 20
2
+ 22
2
+ + 48
2
+ 50
2
.
2. Cho n thuộc N*. Tính tổng :
n
2
+ (n + 2)
2
+ (n + 4)
2
+ + (n + 100)
2
.
Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ .Bài toán có một kết quả duy nhất,
không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n.
3.Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 999.1000
Bài toán 4 : Chứng minh rằng :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= n.(n + 1)(2n + 1)/6
Lời giải 1 :
Xét trường hợp n chẵn :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= (1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + (n 1)
2
) + (2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + n
2
)
= [(n 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6
= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6
Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= (1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + n
2
) + (2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + (n 1)
2
)
= n(n + 1)(n + 2)/6 + (n 1)n(n + 1)/6
= n(n + 1)(n + 2 + n 1)/6
= n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( đpcm)
Lời giải 2 :
S = 1² + 2² + 3² + 4² ++ n²
S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + n[(n+1)-1]
= 1.2 1+ 2.3 2 + 3.4 3 + 4.5 4 ++ n(n + 1 ) n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + n( n + 1 ) ( 1 + 2 + 3 +4 + + n )
= - = n( n + 1 ). ) = n( n + 1)
GV: Hoàng Văn Thám 7 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Vậy S =
Vậy ta có công thức tính tổng của dãy số chính phương bắt đầu từ 1 là :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= n.(n + 1)(2n + 1)/6
Bài tập áp dụng : Tính giá trị của các biểu thức sau:
N = 1 + 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ 5
2
+ + 99
2
A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + + 10000
B = - 1
2
+ 2
2
3
2
+ 4
2
- - 19
2
+ 20
2
.
Gợi ý:
Tách B = (2
2
+ 4
2
+ + 20
2
) (1
2
+ 3
2
+ + 19
2
) ; tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi
tìm kết quả của bài toán.
Bài toán 5 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99
Giải
Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của A với 3
lần khoảng cách này ta được :
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6
= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99
= 3 + 97.99.101
1 97.33.101
A
2
+
=
= 161 651
Trong bài toán 2 ta nhân A với 3. Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận thấy
để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa 2 thừa số
trong mỗi hạng tử.
Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10.
Lời giải :
Trở lại bài toán 2. mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách
giữa hai thừa số đó. Học tập cách đó , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng
cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán như sau :
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4
4A = [1.2.3.(4 0) + 2.3.4.(5 1) + + 8.9.10.(11 7)]
4A = (1.2.3.4 1.2.3.4 + 2.3.4.5 2.3.4.5 + + 7.8.9.10 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A =
8.9.10.11 = 1980.
Từ đó ta có kết quả tổng quát
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101
Bài toán 7 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99
GV: Hoàng Văn Thám 8 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Giải :
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8
= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93)
= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 -
93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101
15 95.97.99.101
A
8
+
=
= 11 517 600
Trong bài 6 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 7 ta nhân A với 8 (bốn lần
khoảng cách) vì mỗi hạng tử của A cũng có 3 thừa số.
Bài toán 8 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100
Giải
A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + + (98 + 1).100
= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + + 98.100 + 100
= (2.4 + 4.6 + + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + + 100)
= 98.100.102 : 6 + 102.50:2
= 166600 + 2550
= 169150
Cách khác :
A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + + 99(101 - 1)
= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + + 99.101 - 99
= (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + + 99)
= 171650 2500
= 169150
Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số
hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Bài tập áp dụng
1. Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.99.100
Giải :
A = 1.3.( 5 3) + 3.5.( 7 3) + 5.7.( 9 - 3) + + 99.101.( 103 3)
= ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103 ) ( 1.3.3 + 3.5.3 + + 99.101.3 )
= ( 15 + 99.101.103.105): 8 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101)
= 13517400 3.171650
= 13002450
2. Tính A = 1.2
2
+ 2.3
2
+ 3.4
2
+ + 99.100
2
Giải :
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1)
= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100
= (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100)
= 25497450 333300
= 25164150
Bài tập áp dụng :
1. Tính A = 1
2
+ 4
2
+ 7
2
+ . +100
2
.
2. Tính B = 1.3
2
+ 3.5
2
+ 5.7
2
+ + 97.99
2
.
3. Tính A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 49.51+ 50.50
GV: Hoàng Văn Thám 9 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
4. Tính B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + + 97.101
5. Tính C = 1.3.5 3.5.7 + 5.7.9 7.9.11 + - 97.99.101
6. Tính D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51
7. Tính E = 1.3
3
+ 3.5
3
+ 5.7
3
+ + 49.51
3
8. Tính F = 1.99
2
+ 2.98
2
+ 3.97
2
+ + 49.51
2
Bài toán 9 : Tính tổng S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³
Lời giải :
Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây : với n là số tự nhiên thì ta có
n
2
n = (n 1)(n + 1) . Thật vậy : n
2
n = n( n
2
1) = n( n
2
n + n 1) =
n[(n
2
n) + ( n 1)] = n[n(n 1) + ( n 1)] = (n 1)n( n + 1) đpcm
Áp dụng kết quả trên để tính S
Ta có S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³
S = 1
3
1 + 2
3
2 + 3
3
3 + 4
3
4 + 5
3
5 ++ n
3
n + ( 1 + 2 + 3 + + n )
S = 0 + 2( 2
2
1 ) + 3( 3
2
1 ) + 4( 4
2
1 ) + + n( n
2
1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )
S = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )
S = =
= n( n + 1). = n( n + 1 ).
Nhận xét Vì = 1 + 2 + 3 + 4 + + n , nên ta có kết quả rất quan trọng sau đây :
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + +n )²
Bài toán 10 : Tính các tổng sau :
a ) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + +
b ) B = 1 + 11 + 111 + 1111 + +
c ) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + +
Giải :
a) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + +
= 10
1
1 + 10
2
1 + 10
3
1 + + 10
10
1 = 10
1
+ 10
2
+ 10
3
+ + 10
10
10
= ( 10
1
+ 10
2
+ 10
3
+ 10
4
+ + 10
10
) 10 = 0 10 = 00
GV: Hoàng Văn Thám 10 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
b) B = 1 + 11 + 111 + 1111 + +
9B = 9.(1 + 11 + 111 + 1111 + + ) = 9 + 99 + 999 + +
9B = 00 ( Theo kết quả của câu a)
Vậy B = 00 / 9
c) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + + = 4(1 + 11 + 111 + 1111 + + )
9C = 9.4.( 1 + 11 + 111 + 1111 + + )
= 4.( 9 + 99 + 999 + 9999 + + ) = 4. 00 = 00
Vậy C = 00 / 9
Bài tập áp dụng :
Tính các tổng sau :
A = 2 + 22 + 222 + 2222 + +
B = 3 + 33 + 333 + 3333 + +
C = 5 + 55 + 555 + 5555 + +
RÚT KINH NGHIỆM :
Ngày soạn: 13/10/2013 Ngày dạy: 17/10/2013(Buổi 4) Ngày dạy: 23/10/2013(Buổi 5)
CÁC BÀI TOÁN VỀ LUỸ THỪA
GV: Hoàng Văn Thám 11 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
- BÀI KIỂM TRA BÀI SỐ 1
I. MỤC TIÊU
- Ôn lại các kiến thức cơ bản về luỹ thừa với số mũ tự nhiên như: Lũy thừa bậc n của số a,
nhân, chia hai luỹ thừa cùng có số, .
- Rèn luyện tính chính xác khi vận dụng các quy tắc nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số
- Tính bình phương, lập phương của một số. Giới thiệu về ghi số cho máy tính (hệ nhị phân).
- Biết thứ tự thực hiện các phép tính, ước lượng kết quả phép tính.
II. CHUẨN BỊ GV: Nội dung bài học
HS: Ôn lại các kiến thức đã học
III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ : Kết hợp khi học bài
3 Bài học:
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
a
n
=
aaa
(n N
*
)
n thừa số
b. Một số tính chất :
Với a, b, m, n
N
a
m
. a
n
= a
m+n
, a
m
. a
n
. a
p
= a
m+n+p
(p N)
a
m
: a
n
= a
m-n
(a 0, m > n)
(a.b)
m
= a
m
. b
m
(m 0)
(a
m
)
n
= a
m.n
(m,n 0)
Quy ước:
a
1
= a
a
0
= 1 (a 0)
Với : x, y
Q; m, n
N; a, b
Z
x
n
=
xxx
(x N
*
)
n thừa số
n
n
n
b
a
b
a
=
(b 0, n 0)
x
o
= 1
x
m
. x
n
= x
m+n
nm
n
m
x
x
x
=
(x
0)
GV: Hoàng Văn Thám 12 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
x
-n
=
n
x
1
(x
0)
(x
m
)
n
= x
m.n
(x.y)
m
= x
m
. y
m
n
n
n
y
x
y
x
=
(y
0)
c. Kiến thức bổ sung
* Với mọi x, y, z
Q:
x < y <=> x + z < y + z
Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z
z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z
* Với x
Q, n
N:
(-x)
2n
= x
2n
(-x)
2n+1
= - x
2n+1
* Với a, b
Q;
a > b > 0 => a
n
> b
n
a > b <=> a
2n +1
> b
2n + 1
a > 1 , m > n > 0 => a
m
> a
n
0 < a < 1 , m > n > 0 => a
m
> a
n
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a, x
3
= -27 b, (2x 1)
3
= 8
c, (x 2)
2
= 16 d, (2x 3)
2
= 9
Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm
được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.
a, x
3
= -27 b, (2x 1)
3
= 8
GV: Hoàng Văn Thám 13 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
x
3
= (-3)
3
(2x 1)
3
= (-2)
3
x = -3 => 2x 1 = - 2
Vậy x = - 3 2x = -2 + 1
2x = - 1
=> x =
2
1
Vậy x =
2
1
c, (2x 3)
2
= 9 => (2x 3)
2
= (-3)
2
= 3
2
=> 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3
2x = 6 2x = 0
x = 3 x = 0
Vậy x = 3 hoặc x = 0 .
d , (x - 2)
2
= 16 => (x - 2)
2
= (-4)
2
= 4
2
=> x 2 = -4 hoặc x 2 = 4
x = -2 x = 6
Vậy x = -2 hoặc x = 6
Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x
2
= x
5
Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn
khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết , số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy
phải làm cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ tìm mò » được x = o hoặc x = 1, nhưng cách
này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ?
Giáo viên có thể gợi ý :
x
2
= x
5
=> x
5
x
2
= 0 => x
2
.(x
3
- 1) = 0 =>
=
=
01
0
3
2
x
x
=>
=
=
1
0
3
x
x
=>
=
=
1
0
x
x
Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau :
Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)
10
= (3y - 1)
20
(*)
Hướng dẫn : Đặt 3y 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x
10
= x
20
Giải tương tự bài 2 ở trên ta được :
=
=
01
0
10
10
x
x
=>
=
=
1
0
10
x
x
=>
=
=
=
1
1
0
x
x
x
Rất có thể học sinh dừng lại ở đây , vì đã tìm được x .Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta
phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y .
+) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y =
3
1
GV: Hoàng Văn Thám 14 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y =
3
2
+) Với x = -1 ta có : 3y 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0
Vậy y =
3
1
;
3
2
; 0
Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)
2
= (1 3x)
2
Bài này ngược với bài trên , hai lũy thừa đã có số mũ -đã biết- giống nhau nhưng cơ số
chưa biết lại khác nhau . Lúc này ta cần sử dụng tính chất : bình phương của hai lũy thờa
bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau .
Ta cố : (x - 5)
2
= (1 3x)
2
=> x 5 = 1 3x hoặc x 5 = 3x 1
=> 4x = 6 2x = -4
=> x =
4
6
=
2
3
x = -2
Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)
100
+ (2y + 1)
200
0 (*)
Với bài toán này , cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau , lại phải tìm hai số
x và y bên cạnh đó là dấu
, thật là khó ! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các
em có thể giải quyết được vấn đề : hãy so sánh (3x - 5)
100
và (2y +1)
200
với 0 .
Ta thấy : (3x - 5)
100
0
x
Q
(2y +1)
200
0
x
Q
=> Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0 , không thể nhỏ hơn 0
Vậy : (3x - 5)
100
+ (2y + 1)
200
= 0 khi (3x - 5)
100
= (2y + 1)
200
= 0
3x 5 = 2y + 1 =0
=> x =
3
5
và y =
2
1
Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)
2
+ 2(y 3)
2
< 4
Theo bài 3 , học sinh sẽ nhận ra ngay : (x + 2)
2
0
x
Z
(1)
2(y 3)
2
0
x
Z
(2)
Nhưng nảy sinh vấn đề ở < 4 , học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi
ý :
Từ (1) và (2) suy ra, để : (x + 2)
2
+ 2(y 3)
2
< 4 thì chỉ có thể xảy ra những trường
hợp sau :
+) Trường hợp 1 : (x + 2)
2
= 0 và (y 3)
2
= 0
GV: Hoàng Văn Thám 15 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
=> x = -2 => y = 3
+) Trường hợp 2 : (x + 2)
2
= 0 và (y 3)
2
= 1
=> x = -2 =>
=
=
2
4
y
y
+) Trường hợp 3 : (x + 2)
2
= 1 và (y 3)
2
= 0
=>
=+
=+
12
12
x
x
=> y = 3
=>
=
=
3
1
x
x
+) Trường hợp 4 : (x + 2)
2
= 1 và (y 3)
2
= 1
=>
=
=
3
1
x
x
=>
=
=
2
4
y
y
Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là :
X -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1
Y 3 4 2 3 3 4 2 4 2
Thật là một bài toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp ,bỏ sót những
cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài .
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau :
1 . Tìm x biết :
a, (2x 1)
4
= 81 b, (x -2)
2
= 1
c, (x - 1)
5
= - 32 d, (4x - 3)
3
= -125
2 . Tìm y biết :
a, y
200
= y b, y
2008
= y
2010
c, (2y - 1)
50
= 2y 1 d, (
3
y
-5 )
2000
= (
3
y
-5 )
2008
3 . Tìm a , b ,c biết :
a, (2a + 1)
2
+ (b + 3)
4
+ (5c - 6)
2
0
b, (a - 7)
2
+ (3b + 2)
2
+ (4c - 5)
6
0
c, (12a - 9)
2
+ (8b + 1)
4
+ (c +19)
6
0
d, (7b -3)
4
+ (21a - 6)
4
+ (18c +5)
6
0
1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
Bài 1 : Tìm n
N biết :
a, 2008
n
= 1 c, 32
-n
. 16
n
= 1024
GV: Hoàng Văn Thám 16 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
b, 5
n
+ 5
n+2
= 650 d, 3
-1
.3
n
+ 5.3
n-1
= 162
Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a,
a, 2008
n
= 1=> 2008
n
= 2008
0
=> n = 0
Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số
nhưng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên :
b, 5
n
+ 5
n+2
= 650
5
n
+ 5
n
.5
2
= 650
5
n
.(1 + 25) = 650
=> 5
n
= 650 : 26
5
n
= 25 = 5
2
=> n = 2
Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d,
c, 32
-n
. 16
n
= 1024
(2
5
)
-n
. (2
4
)
n
= 1024
2
-5n
. 2
4n
= 2
10
2
-n
= 2
10
=> n = -10
d, 3
-1
.3
n
+ 5.3
n-1
= 162
3
n-1
+ 5 . 3
n-1
= 162
=>6 . 3
n-1
= 162
3
n-1
= 27 = 3
3
=> n 1 = 3
n = 4
Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
2
m
+ 2
n
= 2
m+n
Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm như thế nào để tìm được
hai số mũ m và n . Giáo viên gợi ý :
2
m
+ 2
n
= 2
m+n
2
m+n
2
m
2
n
= 0
=> 2
m
.2
n
-2
m
-2
n
+ 1 = 1
2
m
(2
n
- 1) (2
n
- 1) = 1
(2
m
- 1)( 2
n
- 1) = 1 (*)
GV: Hoàng Văn Thám 17 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Vì 2
m
1 , 2
n
1
m,n
N
Nên từ (*) =>
=
=
112
112
n
m
=>
=
=
22
22
n
m
=>
=
=
1
1
n
m
Vậy : m = n = 1
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a, 3 < 3
n
234
b, 8.16
2
n
4
Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học
sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số .
a, 3 < 3
n
234
3
1
< 3
n
3
5
=> n
{ }
5;4;3;2
b, 8.16
2
n
4
2
3
.2
4
2
n
2
2
2
7
2
n
2
2
=> n
{ }
7;6;5;4;3;2
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng :
4
15
. 9
15
< 2
n
. 3
n
< 18
16
. 2
16
Với bài này , giáo viên gợi ý học sinh quan sát , nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong
một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán :
4
15
. 9
15
< 2
n
. 3
n
< 18
16
. 2
16
(4. 9)
15
< (2.3)
n
< (18.2)
16
36
15
< 6
n
< 36
16
6
30
< 6
n
< 6
32
=> n = 31
Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các
bài toán dạng tương tự.
1. Tìm các số nguyên n sao cho
a. 9 . 27
n
= 3
5
b. (2
3
: 4) . 2
n
= 4
c. 3
-2
. 3
4
. 3
n
= 3
7
d. 2
-1
. 2
n
+ 4. 2
n
= 9. 2
5
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho :
a. 125.5
5
n
5.25 b. (n
54
)
2
= n
GV: Hoàng Văn Thám 18 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
c. 243
3
n
9.27 d. 2
n+3
2
n
=144
3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng
a. 2
x+1
. 3
y
= 12
x
b. 10
x
: 5
y
= 20
y
4. Tìm số tự nhiên n biết rằng
a. 4
11
. 25
11
2
n
. 5
n
20
12
.5
12
b.
n
2
22
666666
.
333
4444
55
555555
555
5555
=
+
+++++
++
+++
Hướng dẫn:
3. a. 2
x+1
. 3
y
= 12
x
2
x+1
. 3
y
= 2
2x
.3
x
=>
1
2
2
2
3
3
+
=
x
x
x
y
3
y-x
= 2
x+1
=> y-x = x-1 = 0
Hay x = y = 1
b. 10
x
: 5
y
= 20
y
10
x
= 20
y
. 5
y
10
x
= 100
y
10
x
= 100
2y
=> x = 2y
4 b.
n
2
22
666666
.
333
4444
55
555555
555
5555
=
+
+++++
++
+++
n
2
2.2
6.6
.
3.3
4.4
5
5
5
5
=
n
2
2
6
.
3
4
6
6
6
6
=
=> 4
6
= 2
n
=> 2
12
= 2
n
=> n = 12
1.3. Một số trường hợp khác
Bài 1: Tìm x biết:
(x-1)
x+2
= (x-1)
x+4
(1)
GV: Hoàng Văn Thám 19 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ
và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải . Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán
quen
thuộc bằng một phép biến đổi sau :
Đặt x-1 = y ta có: x + 2 = y + 3
x + 4 = y + 5
Khi đó (1) trở thành : y
y+3
= y
y+5
y
y+5
- y
y+3
= 0
y
y+3
(y
2
1) = 0
=> y
y+3
= 0 hoặc y
2
1 = 0.
* Nếu: y
y+3
= 0 => y = 0
Khi đó : x 1 = 0 hay x = 1.
* Nếu : y
2
1 = 0
=> y
2
= (±1)
2
=> y = 1 hoặc y = -1
Với y = 1 ta có : x 1 = 1 hay x = 2
Với y = -1 ta có : x 1 = -1 hay x = 0
Vậy : x
{ }
2;1;0
Bài 2 : Tìm x biết :
x(6-x)
2003
= (6-x)
2003
Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài
trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn.
x. (6-x)
2003
= (6-x)
2003
x. (6-x)
2003
- (6-x)
2003
= 0
(6-x)
2003
(x-1) = 0
=> (6-x)
2003
= 0 hoặc (x-1) = 0
* Nếu (6-x)
2003
= 0 => (6-x)
= 0
x = 6
* Nếu (x-1) = 0 => x = 1
Vậy : x
{ }
6;1
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết :
a. 2
a
+ 124 = 5
b
GV: Hoàng Văn Thám 20 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
b. 10
a
+ 168 = b
2
Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc
không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào? Ta cần dựa vào tính chất
đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này :
a) 2
a
+ 124 = 5
b
(1)
* Xét a = 0, khi đó (1) trở thành
2
0
+ 124 = 5
b
Hay 5
b
= 125
5
b
= 5
3
Do đó a= 0 và b = 3
* Xét a
1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với
mọi
a
1 , a,b
N, điều này vô lý.
Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 3.
b) 10
a
+ 168 = b
2
(2)
Tương tự câu a
* Xét a = 0, khi đó (2) trở thành
10
0
+ 168 = b
2
169 = b
2
(±13)
2
= b
2
=> b = 13 (vì b
N)
Do đó a = 0 và b = 13.
* Xét a
1.
Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a
1 thì 10
a
có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra
10
a
+ 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b
2
có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý.
Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 13.
Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau :
Tìm các số tự nhiên a , b để :
a. 3
a
+ 9b = 183
b. 5
a
+ 323 = b
2
c. 2
a
+ 342 = 7
b
GV: Hoàng Văn Thám 21 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
d. 2
a
+ 80 = 3
b
Dạng 2 : So sánh hai lũy thừa
* Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ
số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
+) Lưu ý một số tính chất sau :
Với a , b , m , n
N , ta có : a > b a
n
> b
n
n
N
*
m > n a
m
> a
n
(a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì a
m
= a
n
( m.n
0)
Với A , B là các biểu thức ta có :
A
n
> B
n
A > B > 0
A
m
> A
n
=> m > n và A > 1
m < n và 0 < A < 1
Bài 1 : So sánh :
a, 333
17
và 333
23
b, 2007
10
và 2008
10
c, (2008-2007)
2009
và (1998 - 1997)
1999
Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có
cùng số mũ .
a, Vì 1 < 17 < 23 nên 333
17
< 333
23
b, Vì 2007 < 2008 nên 2007
10
< 2008
10
c, Ta có : (2008-2007)
2009
= 1
2009
= 1
(1998 - 1997)
1999
= 1
1999
= 1
Vậy (2008-2007)
2009
= (1998 - 1997)
1999
Bài 2 : So sánh
a, 2
300
và 3
200
e, 99
20
và 9999
10
b, 3
500
và 7
300
f, 11
1979
và 37
1320
c, 8
5
và 3.4
7
g, 10
10
và 48.50
5
d, 202
303
và 303
202
h, 1990
10
+ 1990
9
và 1991
10
Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các
lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ .
Hướng dẫn :
GV: Hoàng Văn Thám 22 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
a, Ta có : 2
300
= 2
3
)
100
= 8
100
3
200
= (3
2
)
100
= 9
100
Vì 8
100
< 9
100
=> 2
300
< 3
200
b, Tương tự câu a, ta có : 3
500
= (3
5
)
100
= 243
100
7
300
= (7
3
)
100
= 343
100
Vì 243
100
< 343
100
nên 3
500
< 7
300
c, Ta có : 8
5
= 2
15
= 2.2
14
< 3.2
14
= 3.4
7
=> 8
5
< 3.4
7
d, Ta có : 202
303
= (2.101)
3.101
= (2
3
.101
3
)
101
= (8.101.101
2
)
101
= (808.101)
101
303
202
= (3.101)
2.101
= (3
2
.101
2
)
101
= (9.101
2
)
101
Vì 808.101
2
> 9.101
2
nên 202
303
> 303
202
e, Ta thấy : 99
2
< 99.101 = 9999 => (99
2
)
10
< 9999
10
hay 99
20
< 9999
10
(1)
f, ta có : 11
1979
< 11
1980
= (11
3
)
660
= 1331
660
(2)
37
1320
= 37
2
)
660
= 1369
660
Từ (1) và (2) suy ra : 11
1979
< 37
1320
g, Ta có : 10
10
= 2
10
. 5
10
= 2. 2
9
. 5
10
(*)
48. 50
5
= (3. 2
4
). (2
5
. 5
10
) = 3. 2
9
. 5
10
(**)
Từ (*) và (**) => 10
10
< 48. 50
5
h, Có : 1990
10
+ 1990
9
= 1990
9
. (1990+1) = 1991. 1990
9
1991
10
= 1991. 1991
9
Vì 1990
9
< 1991
9
nên 1990
10
+ 1990
9
< 1991
10
Bài 3 . Chứng tỏ rằng : 5
27
< 2
63
< 5
28
Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý :
hãy chứng tỏ 2
63
> 5
27
và 2
63
< 5
28
Ta có : 2
63
= (2
7
)
9
= 128
9
5
27
=(5
3
)
9
= 125
9
=> 2
63
> 5
27
(1)
Lại có : 2
63
= (2
9
)
7
= 512
7
5
28
= (5
4
)
7
= 625
7
=> 2
63
< 5
28
(2)
Từ (1) và (2) => 5
27
< 2
63
< 5
2
Bài 4 . So sánh :
a, 107
50
và 73
75
b, 2
91
và 5
35
GV: Hoàng Văn Thám 23 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một
lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán .
Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian :
a, Ta thấy : 107
50
< 108
50
= (4. 27)
50
= 2
100
. 3
150
(1)
73
75
> 72
75
= (8. 9)
75
= 2
225
. 3
150
(2)
Từ (1) và (2) => 107
50
< 2
100
. 3
150
< 2
225
. 3
150
< 73
75
Vậy 107
50
< 73
75
b, 2
91
> 2
90
= (2
5
)
18
= 32
18
5
35
< 5
36
= (5
2
)
18
= 25
18
=> 2
91
> 32
18
> 25
18
> 5
35
Vậy 2
91
> 5
35
Bài 5 . So sánh :
a, (-32)
9
và (-16)
13
b, (-5)
30
và (-3)
50
c, (-32)
9
và (-18)
13
d, (
16
1
)
100
và (
2
1
)
500
Hướng dẫn : Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên
a, (-32)
9
= - 32
9
= - (2
5
)
9
= - 2
45
(-16)
13
= - 16
13
= - (2
4
)
13
= - 2
52
Vì 2
45
< 2
52
nên -2
45
> - 2
52
Vậy (-32)
9
> (-16)
13
b, (-5)
30
= 5
30
= (5
3
)
10
= 125
10
(-3)
50
= 3
50
= (3
5
)
10
= 243
10
Vì 125
10
< 243
10
nên (-5)
30
< (-3)
50
c, (-32)
9
= - 32
9
= - (2
5
)
9
= - 2
45
mà 2
45
< 2
52
= 16
13
< 18
13
=> - 2
45
> - 18
13
= (-18)
13
Vậy (-32)
9
> (-18)
13
Dạng 3: Tính toán trên các lũy thừa.
GV: Hoàng Văn Thám 24 Trường THCS Bình An Thịnh
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014
*Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính
cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi.
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a, A =
2710727
2713730
5.25.2
5.25.2
+
+
b, M =
( )
)5(
)6(
)6(
)5(
4
+
+
x
x
x
x
x
với x = 7
Hướng dẫn :
Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép
tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đấp
án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả
tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất
ngờ.
a, A =
2710727
2713730
5.25.2
5.25.2
+
+
=
)52(5.2
)5.2(5.2
2017710
2017713
+
+
= 2
3
= 8
b, M =
( )
)5(
)6(
)6(
)5(
4
+
+
x
x
x
x
x
Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần mà số
lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng.
M =
( )
)5(
)6(
)6(
)5(
4
+
+
x
x
x
x
x
=
( )
)57(
)67(
)67(
)57(
47
+
+
M =
12
13
1
2
3
=
1
2
3
= 3
2
= 9
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
a, A = 10
2008
+ 125
45
b, B = 5
2008
+ 5
2007
+ 5
2006
31
c, M = 8
8
+ 2
20
17
d, H = 313
5
. 299 313
6
. 36
7
Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và
phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a
m, a
n, (m;n) = 1 thì a
m.n (a, m, n
N
*
)
a, A = 10
2008
+ 125
45
Ta có: 10
2008
+ 125 =
0 100
+ 125 =
0125 100
2008 số 0 2005 số 0
A có tận cùng là 5 => A
5
Tổng các chữ số của A là : 1+1+2+5 = 9 => A
9.
GV: Hoàng Văn Thám 25 Trường THCS Bình An Thịnh
Video liên quan
Tags:
So sánh